マクローリン展開

マクローリン展開とは、関数を無限級数で表す方法の一つである。具体的には、関数を$x=0$の周りでテイラー展開したとき、$x^n$の係数をそのまま項とする無限級数を得ることができる。この$x^n$の係数を求める際には、導関数を計算することになる。

以下に、マクローリン展開の式を示す。

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

ここで、$f^{(n)}(0)$は$f(x)$の$x=0$における$n$階導関数の値である。

例えば、$f(x)=\sin x$の場合を考える。$f(x)$の1階導関数は$\cos x$、2階導関数は$-\sin x$、3階導関数は$-\cos x$、4階導関数は$\sin x$となる。$x=0$におけるこれらの値は、それぞれ$\cos 0 = 1$、$-\sin 0 = 0$、$-\cos 0 = -1$、$\sin 0 = 0$である。したがって、$\sin x$のマクローリン展開は以下のようになる。

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

このように、マクローリン展開を用いることで、関数を無限級数で表現することができる。また、有限項までの和で近似することで、関数の近似値を求めたり、計算処理を簡略化することができる。

リンク

Maclaurin expansion[EN]