微分とは、関数のある点における接線の傾きを求めることを指します。接線の傾きが求まれば、その点における関数の挙動をより詳しく分析することができます。
微分の数式的な表現は以下のようになります。
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
この式は、関数f(x)のxにおける微分係数を求めるための式です。hは限りなく0に近づける値であり、f(x+h)とf(x)の差をhで割ったものが接線の傾きになります。
この式を使って、たとえばf(x)=x2の微分係数を求めると、以下のようになります。
f′(x)=h→0limh(x+h)2−x2=h→0limhx2+2xh+h2−x2=h→0limh2xh+h2=h→0lim(2x+h)=2x
したがって、f(x)=x2の微分係数はf′(x)=2xとなります。これは、xにおける接線の傾きが2xであることを意味します。
微分を使うと、関数の傾きが0になる点（つまり極値や変曲点）を求めたり、関数の増減や凸凹といった性質を詳しく分析することができます。微分は、数学や物理学、経済学など、様々な分野で活用されています。