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無限等比級数とは、最初の項が aa、公比が rr の等比数列を無限に足し合わせたものを表します。具体的には、以下のような式で表されます。

a+ar+ar2+ar3+⋯=∑n=0∞arna+ar+ar^2+ar^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty ar^n

ここで、nnは自然数です。無限等比級数は、公比が1より大きい場合や-1より小さい場合には発散し、有限の値に収束する場合には収束します。具体的には、公比 rr の絶対値が1より小さい場合には以下のように収束することが知られています。

∑n=0∞arn=a1−r\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}

この式の導出は、以下のように行われます。

まず、S=∑n=0∞arnS=\sum_{n=0}^\infty ar^n と置きます。そして、この式に rr を掛けたものを考えます。

rS=r∑n=0∞arn=∑n=0∞arn+1rS=r\sum_{n=0}^\infty ar^n=\sum_{n=0}^\infty ar^{n+1}

ここで、rSrS から SS を引くと、次のようになります。

rS−S=r∑n=0∞arn−∑n=0∞arn=ar0+a(r1−r0)+a(r2−r1)+⋯=arS-S=r\sum_{n=0}^\infty ar^{n}-\sum_{n=0}^\infty ar^n=ar^0+a(r^1-r^0)+a(r^2-r^1)+\cdots=a

よって、SS は以下のようになります。

S=a1−rS=\frac{a}{1-r}

このように、無限等比級数は公比が1より小さい場合には収束し、有限の値に収束します。一方、公比が1より大きい場合や-1より小さい場合には発散するため、注意が必要です。

リンク

infinite geometric series[EN]