数列と級数

数列とは、数を順番に並べたものである。数列の一般項とは、数列の第n項を表す式のことである。数列を $a_1, a_2, a_3, \cdots$ とすると、一般項は $a_n$ と表される。

例えば、 $1, 2, 3, 4, \cdots$ という数列は、一般項 $a_n=n$ で表される。

数列には、等差数列、等比数列、フィボナッチ数列などの種類がある。

等差数列とは、隣り合う項の差が一定である数列のことである。例えば、 $1, 3, 5, 7, \cdots$ という数列は、一般項 $a_n=2n-1$ で表される。

等比数列とは、隣り合う項の比が一定である数列のことである。例えば、 $1, 2, 4, 8, \cdots$ という数列は、一般項 $a_n=2^{n-1}$ で表される。

フィボナッチ数列とは、最初の2項が1で、3番目以降の項が前の2項の和で表される数列のことである。例えば、 $1, 1, 2, 3, 5, 8, \cdots$ という数列は、一般項 $a_n=f_{n}$ で表される。

級数とは、数列の項を足し合わせたものである。級数を $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ と表す。 $\sum$ は和を表し、 $\infty$ は無限大を表す。この級数が収束する場合、その和を級数の収束値という。収束しない場合は発散するという。

例えば、 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ という級数は、収束する。この級数の収束値は $\frac{\pi^2}{6}$ であることが知られている。

級数には、等比級数、調和級数、交代級数などの種類がある。

等比級数とは、一定の比で増加する級数のことである。例えば、 $\sum_{n=0}^{\infty}2^n$ という級数は、等比級数である。この級数は収束しない。

調和級数とは、項が逆数である級数のことである。例えば、 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ という級数は、調和級数である。この級数は発散する。

交代級数とは、符号が交互に変化する級数のことである。例えば、 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ という級数は、交代級数である。この級数は収束する。

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