暗黙の微分

暗黙の微分とは、関数が与えられたときに、その関数の導関数を求めるための方法です。一般には、明示的に導関数が表現されていない関数について、暗黙の微分を用いて導関数を求めることがあります。

例えば、以下のような方程式が与えられたとします。

$x^2 + y^2 = 1$

この方程式は、円の方程式を表しています。しかし、この方程式には $y$ についての明示的な表現がありません。そこで、この方程式に対して暗黙の微分を行うことで、 $y$ の導関数を求めます。

まず、両辺を微分します。

$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(1)$

この式を展開すると、

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$

となります。ここで、 $x^2$ の導関数は $2x$ であり、 $y^2$ の導関数は $2y \frac{dy}{dx}$ です。これらを代入して、

$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

となります。この式を $y$ について解くと、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

となります。これが、暗黙の微分によって導かれた、 $y$ の導関数です。

暗黙の微分は、微積分学において非常に重要な役割を持ちます。特に、微分方程式の解法において、暗黙の微分を用いて解を求めることがあります。また、物理学や工学など、実世界の問題に対して数学的なモデルを構築する際にも、暗黙の微分を用いて導関数を求めることがあります。

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