テイラー展開

テイラー展開とは、ある関数を多項式の和で表す方法の一つである。これにより、与えられた関数の近似式を得ることができる。

まず、ある点 $a$ での関数 $f(x)$ の $n$ 階微分を考える。つまり、

f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x)

このとき、関数 $f(x)$ の $a$ におけるテイラー展開は以下のように表される。

f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

これは、点 $a$ での関数の値と、その点での各階微分の値を用いて、多項式の和で関数を表したものである。 $n$ を大きくすることで、より正確な近似式を得ることができる。ただし、無限和を計算することはできないため、実際には有限項の和を用いることになる。

例えば、関数 $f(x)=\sin(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開は以下のようになる。

\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}

これは、無限に続く正弦関数を有限の多項式で近似するための式である。 $n$ を大きくすることで、より正確な近似式を得ることができる。

また、テイラー展開を用いることで、微分や積分の計算を単純化することができる。例えば、 $\sin(x)$ と $\cos(x)$ の微分は、テイラー展開を用いることで簡単に計算することができる。さらに、テイラー展開を用いた関数の近似は、物理学や工学などの分野で広く使われている。

リンク