組み合わせの計算

組み合わせとは、与えられた数から異なるk個を選ぶ方法の数を求めるための方法です。組み合わせの式は、以下のように表されます。

$_nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k}$

ここで、nは元の集合から選ぶ要素数、kは組み合わせの要素数を表します。

例えば、8つのボールのうち、異なる3つを選ぶ場合の組み合わせの数は、

$_8C_3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56$

となります。ここで、8つのボールの選ぶ順番は考慮していないことに注意してください。

組み合わせの性質として、以下が挙げられます。

1. $_nC_k=_nC_{n-k}$

2. $_nC_k+_nC_{k-1}=_nC_{k+1}$

3. $_nC_k+_nC_{k+1}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}$

4. $_nC_0+_nC_1+\dots+_nC_n=2^n$

これらの性質を使うことで、組み合わせの計算が簡単になります。

また、組み合わせには重複組み合わせというものもあります。これは、元の集合から異なるk個を選ぶ場合に、同じ要素を何度でも選ぶことができる場合を指します。重複組み合わせの式は、以下のように表されます。

$_{n+k-1}C_k=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

ここで、nは元の集合の要素数、kは組み合わせの要素数を表します。

例えば、3つの色があるボールから4つのボールを選ぶ場合、同じ色のボールを何個でも選ぶことができます。この場合の重複組み合わせの数は、

$_{3+4-1}C_4=\frac{6!}{4!2!}=15$

となります。

以上が、組み合わせの計算についての説明となります。

リンク

combination calculation[EN]