組合せ論とは、集合や積集合、排他的論理和などの集合演算を用いて、ある種のオブジェクトを数える数学の分野です。
組合せ論は、様々な応用分野で重要な役割を果たしています。例えば、経済学や統計学では、標本空間の大きさを求めるのに組合せ論が必要です。また、暗号理論やグラフ理論においても、組合せ論が用いられます。
以下、組合せ論の代表的な概念と問題について説明します。
組合せの基本原理
組合せの基本原理とは、ある集合からk個の要素を選ぶ方法の総数が、その集合の要素数nによらず、n個の要素の中からk個の要素を選ぶ方法の総数に等しいという原理です。この原理は、「n個の物のうち、k個を選ぶ組み合わせの数は、nCkと表される」とも言われます。
階乗と順列
n個のオブジェクトを1列に並べる方法の総数をnの階乗n!といいます。また、順列とは、n個のオブジェクトからk個のオブジェクトを取り出す方法の総数であり、nPkと表されます。順列の計算式は、nPk = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)です。
組合せ
順列とは異なり、組合せは、n個のオブジェクトからk個のオブジェクトを取り出す方法の総数であり、nCkと表されます。組合せの計算式は、nCk = n!/k!(n-k)!です。
ボールと箱の問題
組合せ論において、よく取り上げられる問題に「ボールと箱の問題」があります。この問題では、n個の同種のボールを、k個の区別できない箱に入れる方法の総数を求めます。この問題の解法は、n個のボールとk-1個の仕切りを1列に並べる方法の総数を求めることによって、n+k-1_C_k-1となります。
以上が組合せ論の代表的な概念と問題です。組合せ論は、他にも様々な応用分野で利用されるため、基礎的な知識を身につけることは、数学を学ぶうえで非常に重要です。