合成関数の微分

合成関数の微分

合成関数の微分とは、複数の関数を合成した関数の微分についての考え方である。合成関数の微分を求めることによって、より複雑な関数の微分を求めることができる。

1. 合成関数の定義

$f(x)$と$g(x)$を、それぞれ実数全体の集合から実数の集合への写像とする。このとき、$x$に対して$g(x)$を代入した結果を$f$に代入することで得られる関数$f(g(x))$を、$f$と$g$の合成関数と呼ぶ。

2. 合成関数の微分法

合成関数の微分法は、以下のように表される。

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

この式は、外側の関数$f$の微分と内側の関数$g$の微分を積にして求めることができることを示している。つまり、合成関数の微分は内側の関数$g$の微分を求め、それに外側の関数$f$の微分をかけたものになる。

3. 合成関数の微分の例

例として、以下の関数の微分を求めてみる。

$y = (3x - 1)^2$

この関数は、内側の関数として$g(x) = 3x - 1$、外側の関数として$f(x) = x^2$と考えることができる。このとき、$y$を$g(x)$と$f(x)$で表すと、

$y = f(g(x)) = (g(x))^2 = (3x - 1)^2$

となる。この関数$y$を微分するためには、合成関数の微分法を用いて、以下のように計算する。

$y' = \frac{d}{dx}[(3x - 1)^2] = 2(3x - 1) \cdot 3 = 6(3x - 1)$

よって、$y' = 18x - 6$となる。

4. まとめ

合成関数の微分は、内側の関数の微分と外側の関数の微分を積にして求めることができる。この方法を用いることで、より複雑な関数の微分を求めることができる。

リンク

derivative of a composite function[EN]