対数の性質の証明

対数の加法定理・積と商の公式・低の変換公式の証明

このページでは、対数の記事中に現れる定理の証明を行います。

対数の定義は何度も用いるため下記に記載します。

$A,X,Y \in \mathbb{R}, \space A > 0かつ A \neq 1,X>0$ とすると

\begin{align*} \log_AX= Y \enspace \Leftrightarrow \enspace A^Y = X \end{align*}

ここで $Y>0$ のとき、左側の等式を $Y$ についての式とみて、右側の等式の $Y$ へ $\log_AX$ を代入すると

\begin{align} A^{\log_AY} = Y \end{align}

が成り立つ。

\begin{align*} \log_{a}xy = \log_{a}x + \log_{a}y \end{align*}

証明:
証明は以下の3ステップで行う。

ステップ1:
$a^{\log_{a}xy} = xy$
であることを示す
ステップ2:
$a^{\log_{a}x + \log_{a}y} = a^{\log_{a}x} \cdot a^{\log_{a}y} = xy$
であることを示す
ステップ3
ステップ1とステップ2の右辺が同じであることを用いて、対数の加法定理が成り立つことを示す

ステップ1：

対数の定義により、 $a^{\log_{a}xy} = xy$ 。
（(1)式で $A=a,Y=xy$ とおいた）

ステップ2：

指数法則
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
を使って、 $a^{\log_{a}x + \log_{a}y}$ を計算する。

$a^{ \log_ax + \log_ay } = a^ {\log_ax} \cdot a^{\log_{a}y}$

ここで対数の定義より、 $a^{\log_{a}x} = x$ および $a^{\log_{a}y} = y$ であるため、これを上記の式に代入すると、

\begin{align*} a^{\log_{a}x + \log_{a}y} &= a^{\log_{a}x} \cdot a^{\log_{a}y} \\ &= xy \end{align*}

ステップ3：

ステップ1とステップ2を比較すると、以下のようになる。

\begin{align*} a^{\log_{a}xy} &= xy\\ a^{\log_{a}x + \log_{a}y} &= xy \end{align*}

これらの式の右辺が等しいことから、

\begin{align*} a^{\log_{a}xy} &=　a^{\log_{a}x + \log_{a}y}\\ \therefore \log_{a}xy &= \log_{a}x + \log_{a}y \end{align*}

となり、対数の加法定理が示された。
$\square$

\begin{align*} \log_{a}x^k = k\log_{a}x \end{align*}

証明:
$\log_ax=p$ と置くと、
対数の定義より $x = a^p$ が成り立つ。ここで $x^k$ を考えると

\begin{aligned} x^k&=(a^p)^k\\ &=a^{kp} &&(\because 指数法則)\\ \therefore \log_ax^k&=\log_aa^{kp} &&(\because 両辺に対数をとる)\\ &=k \cdot p &&(\because 対数の定義)\\ &=k \log_ax &&(\because 最初のpの定義)\quad \square \end{aligned}

\begin{align*} \log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a}x - \log_{a}y \end{align*}

証明:
$\log_ax=p,\log_ay=q$ と置くと、
対数の定義より $x = a^p,\space y=a^q$ が成り立つ。ここで $\frac{x}{y}$ を考えると

\begin{aligned} \frac{x}{y} &=\frac{a^p}{a^q} \\ &=a^{(p-q)} &&(\because 指数法則)\\ \\ \therefore \log_a\frac{x}{y}&= \log_aa^{(p-q)} &&(\because 両辺に対数を取る) \\ &=p-q \qquad &&(\because 対数の定義)\\ &= \log_ax - \log_ay &&(\because 最初のp,qの定義) \quad \square \end{aligned}

\begin{align*} \log_{a}x = \frac{\log_{b}x}{\log_{b}a} \end{align*}

証明:
$\log_ax=y$ と置くと、

\begin{aligned} x &=a^y &&(\because 対数の定義) \\ \log_bx&= \log_ba^y &&(\because 両辺に低bの対数を取る)\\ &= y\log_ba &&(\because 対数の積の公式)\\ \frac{\log_bx}{\log_ba} &= y\cdot \frac{\log_ba}{\log_ba} &&(\because 両辺を\log_baで割る)\\ \frac{\log_bx}{\log_ba} &= y \\ \therefore \frac{\log_bx}{\log_ba} &= \log_ax &&(\because 最初のyの定義) \quad \square \end{aligned}