対数

対数とは

対数（たいすう）とは、ある数を別の数に変換する操作の一つであり、その変換によって得られた数を対数と呼ぶ。一般に、底と呼ばれる正の数を指定して、その底を何乗したら元の数になるかを求める。

例えば、$2^3=8$ であるから、$8$ の底 $2$ の対数は $3$ となる。

対数の表記法

対数を表す際には、下記のような表記法が用いられる。

$\log_{a}x$

この場合、底 $a$ を指定して、$x$ の底 $a$ の対数を表す。

例えば、$2$ を底とする対数の場合、下記のように表記する。

$\log_{2}x$

底が $10$ の場合は底を省略して、以下のように表記されることが多い。

$\log x$

対数の性質

対数には、以下のような性質がある。定理・証明の証明はこちら

対数の加法定理

$\log_{a}xy = \log_{a}x + \log_{a}y$

対数の積の公式

$\log_{a}x^k = k\log_{a}x$

対数の商の公式

$\log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a}x - \log_{a}y$

底の変換公式

$\log_{a}x = \frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$

対数の応用

対数は、様々な分野で応用される。

対数関数

対数関数は、下記のような一般的な形式を持つ。

$y = \log_{a}x$

この式において、$a$ を底とする $x$ の対数を $y$ とすることで、$x$ の値域を $0$ より大きい実数に制限することができる。また、$a$ を $e$（ネイピア数）とする場合は、自然対数関数と呼ばれる。

対数の意義

対数は、指数関数と逆関数の関係にあるため、指数関数が表す増加度合いを対数に変換することで、その増加度合いを直感的に理解することができる。また、対数を用いることで、非常に大きな数や小さな数を扱いやすくなることがある。

案例：RSI（Relative Strength Index）

RSIは、株価の相対的な強さを表す指標の一つであり、以下のような式で計算される。

$RSI = 100 - \frac{100}{1 + \frac{\text{平均上昇幅}}{\text{平均下落幅}}}$

この式では、平均上昇幅と平均下落幅を求める際に、対数を用いた計算が行われる。

リンク

Logarithm[EN]
対数関数