指数関数

指数関数とは、自然数のべき乗を含む形式の関数であり、次のように定義されます。

ここで $a$ は底と呼ばれ、自然数以外の実数でも取り得る値です。 $x$ は自然数以外の実数ですが、詳細は後述します。

底 $a$ が自然数の場合

底が自然数の場合、指数関数は以下のような形を取ります。

例えば、$f(x) = 2^x$ の場合、 $f(1)=2$、$f(2)=4$、$f(3)=8$、$f(4)=16$ となります。

指数関数の性質として、底が $a$ の指数関数と底が $1/a$ の指数関数は逆数の関係にあるというものがあります。

よって、$a^x$ と $a^{-x}$ は互いに逆数の関係にあることがわかります。

底 $a$ が自然数以外の整数の場合

底が自然数以外の整数の場合も、指数関数は自然数以外の実数にまで拡張されます。ただし、底が負の場合には指数が奇数の時と偶数の時でグラフの形が異なるという特徴があります。

例えば、$f(x) = (-2)^x$ の場合、 $f(1)=-2$、$f(2)=4$、$f(3)=-8$、$f(4)=16$ となります。$f(x)$ の値が正の場合もあれば、負の場合もあるため、グラフの形が $x$ 軸を挟んで対称となっています。

一方、底が正の場合、指数関数のグラフは指数が増加するにつれて大きくなる傾向があります。また、底が $1$ より大きい場合は指数が正の場合は $y$ 軸に近づくにつれて急激に上昇し、指数が負の場合は $x$ 軸に近づくにつれて急激に下降します。反対に、底が $1$ より小さい場合は指数が正の場合は $x$ 軸に近づくにつれて急激に下降し、指数が負の場合は $y$ 軸に近づくにつれて急激に上昇します。

底 $a$ が実数の場合

底が実数の場合も指数関数は定義されますが、指数の取り得る値が限定されます。指数関数において指数には、自然数以外の実数も含めることができますが、底が負数の場合、指数が有理数である場合でも、値が複数存在することがあります。

例えば、$f(x) = (-2)^x$ の場合、$x$ が有理数の場合、$f(x)$ の値が複数存在することがあります。

また、底が $0$ の場合も指数関数は定義されますが、指数が正の場合は常に $0$、指数が負の場合は定義されません。

まとめ

指数関数は、自然数のべき乗を含む形式の関数であり、底が自然数以外の場合でも定義されます。底が自然数以外の場合にはグラフの形が異なる場合があります。また、底が実数の場合には指数の取り得る値が限定されるため、注意が必要です。

リンク

exponential function[EN]