二次関数

はじめに

二次関数とは、「$y=ax^2+bx+c$」という形を持つ関数のことである。$a,b,c$は定数であり、$a$は二次関数の形状を決定する係数である。二次関数は、物理現象や経済現象のモデル化に利用されたり、幾何学的な性質を持つことから、数学的な研究対象にもなっている。

二次関数のグラフ

二次関数のグラフは、放物線の形をしている。$a$が正であれば、開口部が上に向く。一方、$a$が負であれば、開口部が下に向く。

また、$b$と$c$の値によっては、$x$軸との交点を持たないことがある。その場合、グラフは$x$軸と平行になる。

以下は、$y=x^2-2x+1$という二次関数のグラフである。

二次関数の性質

頂点

二次関数のグラフは、頂点を持つ。頂点は、$x=-\frac{b}{2a}$のときに出現する。具体的には、$y=ax^2+bx+c$のとき、頂点の座標は、$( -\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a})$である。ここで、$D$は判別式であり、$D=b^2-4ac$である。

$x$切片

二次関数のグラフが$x$軸と交わる点を$x$切片と呼ぶ。$x$切片は、$y=0$を代入することによって求めることができる。具体的には、$y=ax^2+bx+c$のとき、$x$切片は、$(\frac{-c}{a},0)$である。

$y$切片

二次関数のグラフが$y$軸と交わる点を$y$切片と呼ぶ。$y$切片は、$x=0$を代入することによって求めることができる。具体的には、$y=ax^2+bx+c$のとき、$y$切片は、$(0,c)$である。

軸対称性

二次関数のグラフは、頂点を中心に軸対称である。すなわち、頂点を通る直線$x=-\frac{b}{2a}$を中心にして、左右が対称な形をしている。

判別式

二次関数の判別式は、$D=b^2-4ac$である。この値によって、二次関数が持つ$x$切片を持たない場合や、解の数が変化する場合がある。具体的には以下の通りである。

• $D>0$のとき、二次関数は$x$軸と2点で交わる。
• $D=0$のとき、二次関数は$x$軸と1点で接する。
• $D<0$のとき、二次関数は$x$軸と交わらない。

まとめ

二次関数は、「$y=ax^2+bx+c$」という形を持つ関数であり、グラフは放物線の形をしている。二次関数は、頂点、$x$切片、$y$切片、軸対称性、判別式などの性質を持つ。また、物理現象や経済現象のモデル化に利用されたり、幾何学的な性質を持つことから、数学的な研究対象にもなっている。

リンク

quadratic function[EN]