クンマーの定理

クンマーの定理（Kummer's theorem）は、数学における整数論の分野に属する定理の一つである。この定理は、フェルマーの最後の定理に関する証明において、重要な役割を果たした。

以下では、クンマーの定理について詳しく解説する。

【定理の内容】

クンマーの定理とは、以下のようなものである。

$p$を素数とし、$n$を非負整数とする。また、以下の条件を満たすような整数$a_0,a_1,\dots,a_n$を考える。

$$0\leq a_i < p\quad (0\leq i \leq n)$$

このとき、$p$が$a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n$を割り切る場合、$p^{\alpha}$が$a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n$を割り切る場合の$\alpha$の最大値を$k$とすると、以下が成り立つ。

$${k \choose 0}+{k \choose 1}(p-1)+{k \choose 2}(p-1)^2+\cdots +{k \choose k}(p-1)^k=\frac{a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n}{p^k}$$

この式は、パスカルの三角形の$k$行目における各項を$p-1$で置き換えたものである。

【証明の概要】

クンマーの定理の証明には、二項定理やフェルマーの小定理といった基本的な結果が用いられる。以下では、その概要について解説する。

まず、$p$が$a_0+a_1p+\cdots +a_np^n$を割り切る場合について考える。このとき、以下が成り立つ。

$$a_0+a_1p+\cdots +a_np^n\equiv 0 \pmod{p}$$

したがって、$a_0$以外の各項は$p$で割り切れる。つまり、$0 \leq i \leq n$かつ$i\neq 0$に対しては、$a_ip^i$は$p^{i+1}$で割り切れる。よって、以下が成り立つ。

$$a_0+a_1p +\cdots +a_np^n\equiv a_0 \pmod{p^{k+1}}$$

また、$p$が$a_0+a_1p+\cdots +a_np^n$を割り切らない場合について考えると、以下が成り立つ。

$$a_0+a_1p+\cdots +a_np^n\equiv a_0 \pmod{p^k}$$

以上の式を用いて、左辺の二項式を展開すると、以下が得られる。

$$(a_0+a_1p+\cdots+a_np^n)^k = a_0^k+ka_0^{k-1}(a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n)+(\text{higher terms})$$

ここで、$p$が$a_0+a_1p+\cdots +a_np^n$を割り切る場合については、$a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n$が$p$で割り切れるため、$ka_0^{k-1}(a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n)$は$p^{k+1}$で割り切れる。また、$p$が$a_0+a_1p+\cdots +a_np^n$を割り切らない場合については、$a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n$が$p^k$で割り切れるため、$ka_0^{k-1}(a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n)$は$p^k$で割り切れる。

よって、以下が成り立つ。

$$(a_0+a_1p+\cdots+a_np^n)^k \equiv a_0^k+kpa_0^{k-1}(a_1p+a_2p^2+\cdots +a_np^n) \pmod{p^{k+1}}$$

あとは、二項係数の計算を行い、左辺と右辺を比較することで、クンマーの定理が証明される。詳細は省略するが、この部分の証明には二項定理やフェルマーの小定理が用いられる。

【応用例】

クンマーの定理は、フェルマーの最後の定理において、$n=p-1$の場合に特に重要な役割を果たした。この場合、クンマーの定理が以下の形になる。

$${p-1 \choose 0}+{p-1 \choose 1}+\cdots +{p-1 \choose p-1}=\frac{(p-1)!}{p}$$

この式の左辺は、二項式展開によって$(1+1)^{p-1}$と書くことができる。また、右辺は$p$で割り切れることから、以下が成り立つ。

$$2^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$$

この式を用いることで、フェルマーの最後の定理の$n=p-1$の場合が証明される。

リンク

Kummer theory[EN]