クラウゼン・フォンシュタウトの定理

von Staudt-Clausen定理（von Staudt-Clausen Theorem）は、素数$p$に対し、pが分母（denominator）として現れるような有理数を全て足し合わせたものが、$p$で割り切れる整数であることを主張する定理である。

この定理は、1840年代にドイツの数学者カール・エドゥアルト・フォン・シュタウト（Karl Eduard von Staudt）とトマス・クラウゼン（Thomas Clausen）によって独立して発見された。それぞれの発見者は、この定理を別々に発見し、それぞれ別の論文で発表した。そのため、この定理は、von Staudt-Clausen定理として知られるようになった。

この定理の主張する内容を式で表すと以下のようになる。

$p$を素数とし、$q$を正の整数とすると、以下が成り立つ。

$\sum_{\substack{0 < k < p \\ \gcd(k,p)=1}}\frac{1}{k} \equiv 0 \pmod{p^q}$

ここで、$\gcd(k,p)$は、$k$と$p$の最大公約数を表す。

この定理は、有限体の数学（有限体論）において、極めて重要な役割を果たしている。特に、ヤコビ・フォン・シュタウトの公式（Jacobi-Staudt-Clausenの公式）の証明に使用される。

von Staudt-Clausen定理の別の言い方として、フェルマーの小定理の拡張版として捉えることもできる。フェルマーの小定理は、$p$を素数とし、$a$を$p$と互いに素な整数とすると、$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$が成り立つことを表している。von Staudt-Clausen定理は、このフェルマーの小定理を分母に拡張したものである。

参考文献：

• Ireland, K., & Rosen, M. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag.

リンク

von Staudt-Clausen Theorem[EN]