ディオファントスの方程式とは、整数解を持つ多項式方程式のことである。例えば a,b,c が整数であるとき、以下のような方程式がディオファントスの方程式である。
ax+by=c
この方程式は、a,b の最大公約数が d であるとき、c が d の倍数でなければ、整数解を持たないことが知られている。逆に言えば、c が d の倍数であれば、この方程式は整数解を持つ。
また、より一般的なディオファントスの方程式は以下のように表される。
a1x1+a2x2+⋯+anxn=c
ここで、a1,a2,…,an,c は整数であり、x1,x2,…,xn は未知の整数である。この方程式は、a1,a2,…,an の最大公約数が d であるとき、c が d の倍数でなければ、整数解を持たないことが知られている。また、c が d の倍数であれば、この方程式は整数解を持つ。ディオファントスの方程式の一般解法は現在も研究されており、完全な一般解法は存在しない。しかし、特定の条件下での解法は知られており、例えば n=2 の場合にはユークリッドの互除法を用いることができる。
ディオファントスの方程式は、数論や暗号理論、代数幾何学などの分野で応用されており、重要な問題の一つである。