三角関数代入を用いた積分

三角関数代入は、三角関数の公式を用いて積分の形を変形し、簡単な形にするために使われる方法です。具体的には、以下のような形の積分に適用されます。

$\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx$

ここで、$R$は有理関数、$a,b,c$は定数です。このような形の積分は、三角関数代入を行うことで、積分を簡単にすることができます。

まずは、$ax^2+bx+c$の部分を、$a(\sqrt{\frac{b}{2a}x^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}}+\frac{b}{2a})^2+d$という形に変形します。ここで、$d$は定数で、$d=\frac{4ac-b^2}{4a}$です。

すると、$x=\sqrt{\frac{2a}{b}}\sqrt{d-a(\sin^2t)}$とおくことができます。ここで、$t$は新しい変数で、$0\leq t\leq \pi$です。

この代入を元の積分に適用すると、以下のようになります。

$\int R\left(\sqrt{\frac{2a}{b}}\sqrt{d-a(\sin^2t)},\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\sqrt{\frac{2a}{b}}\sqrt{d-a(\sin^2t)}\cos tdt$

この積分に対して、三角関数の公式を用いて簡単にすることができます。例えば、$\sqrt{d-a(\sin^2t)}$を$\cos\theta$とすると、$\sin\theta=\sqrt{a}\sqrt{d-a(\sin^2t)}$となります。また、$\sqrt{\frac{2a}{b}}\sqrt{d-a(\sin^2t)}\cos t$を$x$とすると、$dx=-\sqrt{\frac{2a}{b}}\sqrt{d-a(\sin^2t)}\sin tdt$となります。

これらの変形を用いると、元の積分は以下の形に変形することができます。

$-\int R(x,\sqrt{a\sqrt{\frac{b}{2a}}^2\sin^2\theta+d})\frac{dx}{\sqrt{a\sqrt{\frac{b}{2a}}^2\sin^2\theta+d}}d\theta$

この式は、$\sqrt{a\sqrt{\frac{b}{2a}}^2\sin^2\theta+d}$を$\sqrt{a}\sqrt{\frac{b}{2a}}|\cos\phi|$とおくことで、更に簡単にすることができます。

以上のように、三角関数代入を用いることで、複雑な形の積分を簡単にすることができます。ただし、代入することで式が複雑になる場合もあるため、適切な代入方法を選ぶ必要があります。

リンク

Integration using Trigonometric Substitution[EN]