正弦定理

正弦定理とは

正弦定理とは、三角形の三つの辺とその対向角の正弦を用いて、次のように表現される定理です。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

ここで、$a$、$b$、$c$はそれぞれ三角形の辺の長さを表し、$A$、$B$、$C$はそれぞれその対向する角の大きさを表します。

正弦定理の証明

正弦定理の証明には、三角形の面積公式と、それを用いた式変形が必要となります。

三角形の面積公式により、次の式が成り立ちます。

$$\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B$$

この式を変形すると、次の式が得られます。

$$\sin A = \frac{2}{bc} \cdot \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{a}{2R}$$

ここで、$R$は三角形の外接円の半径を表します。同様に、$\sin B$、$\sin C$も以下のように表されます。

$$\sin B = \frac{b}{2R},\quad \sin C = \frac{c}{2R}$$

これを正弦定理の式に代入すると、次のような形になります。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{a} a = 2R = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

以上の証明により、正弦定理が示されました。

正弦定理の応用

正弦定理は、三角形の辺の長さや角度がわかっている場合に、残りの辺や角度を求める際に利用されます。また、三角形の面積を求める際にも用いられます。

例えば、次のような問題が考えられます。

三角形ABCで、$a=5$、$b=7$、$\angle C=60^\circ$のとき、辺$c$の長さを求めなさい。

この問題を正弦定理を用いて解くと、以下のようになります。

$$\begin{aligned} \frac{a}{\sin A} &= \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \\ \frac{5}{\sin 60^\circ} &= \frac{7}{\sin B} = \frac{c}{\sin 60^\circ} \\ \sin B &= \frac{7}{5} \cdot \sin 60^\circ = \frac{7\sqrt{3}}{10} \\ B &= 79.15^\circ \\ \sin C &= \frac{c}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2c}{\sqrt{3}} \\ c &= \frac{5\sin C}{\sin A} = \frac{5\sin(180^\circ - A - C)}{\sin 60^\circ} \\ &= \frac{5\sin (60^\circ + B)}{\sin 60^\circ} = \frac{5\sin 79.15^\circ}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx 8.17 \end{aligned}$$

従って、$\boxed{c \approx 8.17}$となります。

以上のように、正弦定理は三角形の問題を解く上で重要なツールとなります。

リンク

Law of sines[EN]