三角関数

三角関数とは

三角関数とは、直角三角形の比を用いて定義される関数である。

代表的な三角関数として正弦(sin)、余弦(cos)、正接(tan)があり、これらは三角形の比として以下のように定義される。

$\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$

$\cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$

$\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$

ここで、$\theta$は三角形の一角度数を表し、$\text{対辺}$は$\theta$の反対側にある辺、$\text{隣辺}$は$\theta$に隣接する辺、$\text{斜辺}$は直角となる辺である。

三角関数の性質

三角関数には以下のような性質がある。

周期性

正弦関数と余弦関数は、周期$\pi$を持ち、以下のような性質がある。

$\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$

$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$

つまり、$\theta$に$\pi$を加えた角度では、正弦関数と余弦関数が符号を反転する。

また、正接関数は$\pi$の整数倍の角度では、値が定義できない(undefined)となる。

対称性

正弦関数と余弦関数は、原点を中心として対称である。

$\sin(-\theta) = -\sin\theta$

$\cos(-\theta) = \cos\theta$

また、正接関数は原点を中心として、$\frac{\pi}{2}$を中心に対称である。

$\tan(-\theta) = -\tan\theta$

増減

正弦関数と余弦関数は、$\theta$が$0$から$\frac{\pi}{2}$まで増加する間は、単調増加である。

また、正接関数は、$\theta$が$-\frac{\pi}{2}$から$0$まで単調増加し、$\theta$が$0$から$\frac{\pi}{2}$まで単調減少する。

三角関数の関係

三角関数には以下のような関係が成り立つ。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

この関係は、三角形の直角を代表する角$\theta$と、斜辺の長さ(=1)の関係を表している。

応用

三角関数は、数学や物理、工学などの多くの分野で応用されている。

たとえば、三角関数を利用することで、直角三角形の辺や角度を決定することができる。また、正弦波や余弦波は、振動や波を表すモデルとして用いられることが多い。また、フーリエ変換によって、様々な信号を三角関数の和として表現することができるため、信号処理や音声処理などでも使用される。

リンク

trigonometric function[EN]