双曲線関数

双曲線関数とは、$y=\sinh x$ および $y=\cosh x$ のように、双曲線を用いて定義される関数のことです。双曲線関数には、$\sinh$、$\cosh$、$\tanh$、$\coth$、$\sech$、$\csch$ の6つがあります。それぞれの関数について順に説明していきます。

$\sinh x$ (ハイパボリックサイン)

$\sinh x$ は、$y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ と定義されます。グラフを描くと以下のようになります。

$\sinh x$ のグラフは、原点を中心に左右対称であり、上に開いた双曲線のような形をしています。$x$ が大きくなるにつれて、$\sinh x$ の値も大きくなります。

$\cosh x$ (ハイパボリックコサイン)

$\cosh x$ は、$y=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ と定義されます。グラフを描くと以下のようになります。

$\cosh x$ のグラフは、原点を中心に左右対称であり、下に開いた双曲線のような形をしています。また、$x$ が大きくなっても $\cosh x$ の値は無限に大きくならず、$y=1$ に収束していきます。

$\tanh x$ (ハイパボリックタンジェント)

$\tanh x$ は、$\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}$ と定義されます。グラフを描くと以下のようになります。

$\tanh x$ のグラフは、原点を中心に左右対称であり、S字の形をしています。$x=0$ で $\tanh x=0$、$x$ が大きくなるにつれて $\tanh x$ の値も大きくなり、$x\rightarrow \pm \infty$ で $\tanh x$ の値は $\pm 1$ に収束していきます。

$\coth x$ (ハイパボリックコタンジェント)

$\coth x$ は、$\coth x=\dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ と定義されます。グラフを描くと以下のようになります。

$\coth x$ のグラフは、原点を中心に左右対称であり、上下対称になっています。$x=0$ では発散し、$x$ が大きくなるにつれて $\coth x$ の値も大きくなっていきます。

$\sech x$ (ハイパボリックセカント)

$\sech x$ は、$\sech x=\dfrac{1}{\cosh x}$ と定義されます。グラフを描くと以下のようになります。

$\sech x$ のグラフは、原点を中心に左右対称であり、下に開いた双曲線のような形をしています。$x=0$ で $\sech x=1$、$x$ が大きくなるにつれて $\sech x$ の値も小さくなっていきます。

$\csch x$ (ハイパボリックコセカント)

$\csch x$ は、$\csch x=\dfrac{1}{\sinh x}$ と定義されます。グラフを描くと以下のようになります。

$\csch x$ のグラフは、原点を中心に左右対称であり、上に開いた双曲線のような形をしています。$x=0$ で $\csch x$ が発散し、$x$ が大きくなるにつれて $\csch x$ の値も小さくなっていきます。

双曲線関数は、三角関数と同様に様々な数学分野で活躍し、特に微積分や微分方程式の解法でよく使用されます。また、物理学や工学などの応用分野でも広く用いられています。

リンク

Hyperbolic functions[EN]