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3D余弦定

3D余弦定理とは、三角形の辺の長さとその間の角度から、その三角形の残りの1つの角度を求める公式である。これは三次元空間にある三角形に適用される。

具体的には、三角形の3つの辺の長さをそれぞれ aa, bb, cc とし、その間の角度を α\alpha, β\beta, γ\gamma とすると、残りの1つの角度 θ\theta は以下のように求められる。

cos⁡θ=a2+b2+c2−2abcos⁡γ−2bccos⁡α−2cacos⁡β2ab\cos\theta=\frac{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\gamma-2bc\cos\alpha-2ca\cos\beta}{2ab}

また、この公式は以下のようにも書くことができる。

cos⁡θ=b2+c2−a22bccos⁡α+c2+a2−b22cacos⁡β+a2+b2−c22abcos⁡γ\cos\theta=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cos\alpha+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\cos\beta+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\cos\gamma

この公式は、三角形の辺の長さと角度から、三角形の形を完全に決定できるため、幅広い応用がある。例えば、三次元測量やロボットアームの位置決めなどで使用される。

リンク

The Law of Cosines in 3D[EN]