偏微分とは、多変数関数において、ある一つの変数以外を定数として扱い、その変数に関する微分を求めることを指します。
例えば、2変数関数 f(x,y) の偏微分を考えます。xを定数として、yについて微分する場合は以下のように表現されます。
∂y∂f
同様に、yを定数として、xについて微分する場合は以下のように表現されます。
∂x∂f
ここで、∂は偏微分記号と呼ばれます。この記号は、全微分の d に似たような形状をしていますが、意味合いは異なります。
偏微分によって求めた微分係数は、その変数が変化したときの関数の増加量を表します。具体的には、以下のように定義されます。
∂x∂f=h→0limhf(x+h,y)−f(x,y)
この式は、xを微小量 h 分だけ変化させたときの、f(x,y) の増加量を表します。同様に、yについての偏微分も以下のように定義されます。
∂y∂f=h→0limhf(x,y+h)−f(x,y)
偏微分を行うことで、多変数関数の微分を求めることができます。これは、例えば2変数関数において、どちらか一方の変数を固定し、もう一方を微小量だけ変化させたときの増加量を求めることができるということを意味しています。
また、偏微分を繰り返し行うことで、多変数関数の高階偏微分が求められます。高階偏微分は、関数の変化がより微小なスケールで起こる場合に必要となるため、数理物理学や工学、経済学などの分野で重要な役割を果たしています。