二項定理

二項定理とは

二項定理とは、以下のような式で表される数学の公式である。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$

ここで、$a$、$b$、$n$は任意の実数であり、$\binom{n}{k}$は $n$ 個の要素から $k$ 個の要素を選ぶ組み合わせの数を表す二項係数である。二項係数は次式で表される。

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n$ から $1$ までの自然数をすべて掛け合わせたものである。

この公式は、多項式の積を展開する場合にしばしば用いられる。

二項係数の性質

二項係数には以下のような性質がある。

• $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ である。
• $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ である。
• $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$ である。これをパスカルの三角形と呼ばれる三角形に表すと、以下のようになる。

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...

二項定理の応用例

組み合わせの総数を求める

$n$ 個の異なるものから $k$ 個選ぶとき、その組み合わせの総数は二項係数 $\binom{n}{k}$ となる。

例えば、10個のボールから3個選ぶ場合の総数は、以下のように求めることができる。

$\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!(10-3)!}=120$

パスカルの三角形の展開

$n$ 項の多項式 $(a+b)^n$ を展開すると、係数がパスカルの三角形になる。

例えば、$(a+b)^3$ を展開すると、

$(a+b)^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2b + \binom{3}{2}ab^2 + \binom{3}{3}b^3$

となり、係数がパスカルの三角形になっている。また、$(a+b)^4$ や $(a+b)^5$ なども同様に展開することができる。

確率の計算

二項分布という確率分布に二項定理が応用される。例えば、ある事象が起こる確率が $p$ である試行を $n$ 回行った場合、その事象が $k$ 回起こる確率は以下のように求められる。

$P(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

この確率分布は、コイン投げやサイコロの振りなどの試行において、特定の事象が何回起こるかを求める場合に用いられる。

まとめ

二項定理は多項式の展開に応用される公式であり、二項係数がパスカルの三角形になることや、二項分布の確率分布に応用されることがある。また、組み合わせの総数を求める際にも用いられる。

リンク

binomial theorem[EN]