置換積分法

置換積分法は、微積分学における積分法の一つであり、積分の計算を簡単にするために使用されます。置換積分法は、以下のように表されます。

$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$

ここで、 $u=g(x)$ とおくと、 $du=g'(x)dx$ となり、元の積分式を以下のように変形することができます。

$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du = F(u) + C$

ここで、 $F(u)$ は $f(u)$ の原始関数、 $C$ は積分定数です。

例えば、以下のような積分を考えてみましょう。

$\int xe^{x^2}dx$

この積分は、置換積分法を用いることで簡単に解くことができます。 $u=x^2$ とおくと、 $du=2xdx$ となるため、以下のように変形できます。

$\int xe^{x^2}dx = \frac{1}{2}\int e^udu = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

これにより、元の積分を簡単に解くことができました。

置換積分法は、多様な場面で使用されるため、微積分学を学ぶ上で非常に重要なテクニックの一つです。ただし、置換積分法を使用する際には、うまく $u$ を選ぶことが必要であるため、熟慮が必要です。

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