中心極限定理とは、標本平均の分布が標本サイズが大きくなるにつれて正規分布に近づくという定理である。
標本平均とは、ある母集団からランダムに抽出した標本の平均値のことであり、標本サイズが大きくなるにつれて標本平均の分布が正規分布に近づくことが中心極限定理によって示される。
中心極限定理の式は以下のように表される。
n→∞limP(σn∑i=1nXi−nμ≤x)=∫−∞x2π1e−2t2dt
ここで、X1,X2,...,Xnは母集団からの独立同分布な標本、μは母集団の平均、σ2は母集団の分散、nは標本サイズ、tは標準正規分布の変数、xは任意の実数である。
中心極限定理は、標本サイズが大きくなるにつれて標本平均の分布が正規分布に近づくことを示すため、統計的な推論や仮説検定において重要な役割を果たしている。また、多くの現象が正規分布に従うことが知られており、中心極限定理はその理論的根拠を提供している。
例えば、ある製品の重量が正規分布に従うと仮定した場合、その標本平均の抽出に対して中心極限定理を適用することで、標本平均の分布がどの程度正規分布に近いかを確認することができる。また、標本サイズが大きくなるにつれて分布が正規分布に近づくため、標本サイズを大きくすることでより正確な結果を得ることができる。
以上が中心極限定理についての説明である。