ポアンカレ予想とは、フランスの数学者ユール・アンリ・ポアンカレが1904年に提唱した問題であり、3次元球面上のある条件を満たす閉じた曲面が3次元球面に同相であることを主張したものである。
つまり、3次元球面上のある曲面が「球面のかたちをしている」ためにはどのような条件が必要かという問題である。この問題は、数学的には位相幾何学と呼ばれる分野の問題であり、そもそも「球面のかたち」とはどのようなものかという定義自体が非常に難しいものである。
ポアンカレは、この問題を解くために、位相幾何学に関する深い洞察力を発揮し、曲面の基本群に関する研究を行った。そして、曲面の基本群が自明であれば、すなわち曲面が3次元球面と同相であれば、その曲面は「球面のかたちをしている」と主張した。
この予想に対しては、多くの数学者が挑戦してきたが、長い間解決されなかった。そのため、20世紀に入ってからも、ポアンカレ予想を含む数多くの数学的問題が未解決であることから、「数学の千年問題」とも呼ばれるようになった。
しかし、1980年代以降、ポアンカレ予想を含む数学的問題が、数学的な発展やコンピュータ技術の進歩によって解決されるようになってきた。そして、2003年に、ロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンがポアンカレ予想の証明を発表し、この問題はついに解決された。
ペレルマンの証明は非常に複雑であり、数学史においても大きな話題となった。また、ペレルマン自身は、その証明に対する批判や公式的な受賞にもかかわらず、数学界からの注目を嫌って公の場から姿を消したことでも知られている。