多様体(トポロジー)は、数学の分野のひとつで、集合論的な方法で空間の性質を研究する学問です。
一般に、多様体は集合の要素（点）の近傍の情報を用いて、空間の性質を定義します。具体的には、空間上での距離や角度などは考慮せず、近傍のつながりを重視します。例えば、近傍のつながりが同じである点同士を「同値」と定義することで、空間上でのつながりの性質を研究します。
多様体は、幾何学的な物体の性質を捉えることができます。例えば、トーラス（ドーナツ型の形状）と球体は、幾何学的には異なる形状をしていますが、トポロジー的には同じ性質を持っています。これは、トーラスの表面にも球体の表面にも穴があるという点で、つながりの性質を共通しているからです。
多様体は、数学だけでなく物理学、化学、生物学などの自然科学にも応用されています。具体的には、物質の相転移やポリマーの性質、生物の形態などの研究に役立っています。
多様体の主要な概念には、以下のものがあります。
・位相空間（topological space）：集合とその上の位相（近傍のつながりの情報）の組み合わせを表す。
・位相（topology）：集合の部分集合の族で、空間上の開集合の公理を満たすもの。
・連続写像（continuous map）：位相空間から別の位相空間への写像で、元々の空間上での近傍のつながりを保つもの。
・同相写像（homeomorphism）：連続写像であり、逆写像も連続なもの。
多様体は、一見奇妙な概念が多数登場するため初学者には難解な印象を与えるかもしれません。しかし、多様体の基本的なアイデアは実はとても直感的で、実際の応用分野での問題解決に役立つことが多いです。