三角関数の加法定理

三角関数の加法定理とは

三角関数の加法定理とは、角度の和や差に対する三角関数の関係式であり、以下のように表されます。

$sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny$

$cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny$

$tan(x+y)=\frac{tanx+tany}{1-tanxtany}$

これは三角形の辺の長さの関係を求める上で重要な公式です。

三角関数の加法定理の証明

ここでは、$sin(x+y)$の加法定理の証明を例に挙げて説明します。

まず、下図のように角度$x+y$の点を$P$とします。

このとき、点$P$から下図のように垂線を引くことができます。

この図から、次の式が導かれます。

$sin(x+y)=\frac{AB}{OP}$

また、$AB$と$BC$の関係から、以下の式が成り立ちます。

$AB=BCsinx$

さらに、$OP$と$BC$の関係から、以下の式が成り立ちます。

$OP=\frac{1}{cosy}$

これらの式を用いて、$sin(x+y)$を表すと以下のようになります。

$sin(x+y)=\frac{AB}{OP}=\frac{BCsinx}{\frac{1}{cosy}}=sinxcosy+cosxsiny$

以上のようにして、$sin(x+y)$の加法定理が導かれます。

まとめ

三角関数の加法定理は、角度の和や差に対する三角関数の関係を表す重要な公式です。三角形の辺の長さの関係を求めるときや、三角関数を解析的に扱う場合に役立ちます。

リンク

Trigonometric Addition Formulas[EN]