極限と連続性

極限と連続性

極限とは、ある数列や関数がある値に限りなく近づく様子を表現するものである。数学において非常に重要な概念であり、微積分学や解析学などの分野で頻繁に使用される。

数列の極限

数列 $(a_n)$ が数 $a$ に収束するとは、どんな $\epsilon > 0$ に対しても、十分大きな $n$ に対して $|a_n - a| < \epsilon$ が成り立つことである。これを数式で表すと、

$\lim_{n\to\infty} a_n = a$

と書く。この式は、「$n$ が無限に大きくなるにつれて $a_n$ は $a$ に限りなく近づく」という意味を表している。

関数の極限

関数 $f(x)$ が $x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$L$ に収束するとは、どんな $\epsilon > 0$ に対しても、$a$ に十分近い $x$ に対して $|f(x) - L| < \epsilon$ が成り立つことである。これを数式で表すと、

$\lim_{x\to a} f(x) = L$

と書く。この式は、「$x$ が $a$ に限りなく近づくにつれて $f(x)$ は $L$ に限りなく近づく」という意味を表している。

連続性

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、$a$ の近くで小さな変化があったときに、$f(x)$ も小さな変化しか起こさないことを表す。より具体的に言うと、ある $\delta > 0$ が存在し、$a-\delta < x < a+\delta$ のとき、$|f(x)-f(a)|<\epsilon$ が成り立つような任意の $\epsilon > 0$ が存在することである。

つまり、関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、$a$ に限りなく近づく $x$ の値に対して、$f(x)$ が $f(a)$ に限りなく近づくことを意味する。そして、極限が定義できる関数は、その極限が存在すれば必ず連続となる。

まとめ

極限とは、ある数列や関数がある値に限りなく近づく様子を表現するものである。連続性は、関数がその値に限りなく近づく際に、小さな変化しか起こさない状態を表す概念である。そして、極限が定義できる関数は、その極限が存在すれば必ず連続となる。極限と連続性は微積分学や解析学の基礎となる非常に重要な概念であるため、理解することが必要である。

リンク

Limits and Continuity[EN]