ラプラス変換

ラプラス変換とは、時間領域の関数を複素平面上に写像することで、微分方程式や積分方程式を解く際に便利な代数的な手法です。

ラプラス変換は以下のように定義されます。

ここで、$f(t)$はラプラス変換の元となる時間領域の関数であり、$s$は複素数のパラメータです。$F(s)$は複素平面上の関数であり、ラプラス変換後の関数と呼ばれます。

ラプラス変換は、以下のような性質を持ちます。

1. 線型性
   $\mathcal{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathcal{L}[f(t)]+b\mathcal{L}[g(t)]$

2. 微分と積分の関係
   $\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)$
   $\mathcal{L}\left[\frac{d^n f(t)}{dt^n}\right]=s^n F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)$
   $\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)d\tau\right]=\frac{1}{s}F(s)$

3. 時間のシフト
   $\mathcal{L}[f(t-a)]e^{-as}=F(s)e^{-as}$

4. 周波数のシフト
   $\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)$

5. 初期値定理
   $\lim_{s\to\infty}sF(s)=\lim_{t\to 0}f(t)$

6. 最終値定理
   $\lim_{s\to 0}sF(s)=\lim_{t\to\infty}f(t)$

ラプラス変換は微分方程式や積分方程式を解く際に利用されます。例えば、以下の微分方程式を考えます。

$y''(t)+2y'(t)+y(t)=f(t)$

この式の両辺にラプラス変換を施し、初期条件$y(0)=y'(0)=0$を考慮すると、以下の式が得られます。

$(s^2+2s+1)Y(s)=F(s)$

ここで、$Y(s)$は微分方程式の解となる複素平面上の関数です。式を整理すると、$Y(s)$は以下のように表すことができます。

$Y(s)=\frac{F(s)}{s^2+2s+1}=\frac{F(s)}{(s+1)^2}$

このように、ラプラス変換を用いることで微分方程式を解くことができます。

また、ラプラス変換はフーリエ変換の一般化としても考えることができます。フーリエ変換は、周期関数や周期的に相関する信号を周波数領域に写像する手法ですが、ラプラス変換は周期関数でない信号に対しても適用することができます。

以上が、ラプラス変換についての概要です。ラプラス変換は微分方程式や積分方程式を解くための強力なツールであり、理工学分野において広く利用されています。

リンク

Laplace transform[EN]