行列

行列（数学）

行列とは、数の表を矩形状に並べたものであり、主に線型代数学において用いられる。行列は、数の計算を簡単に表現することができるため、数学、物理学、工学、統計学などの分野で広く用いられている。

$m$ 行 $n$ 列の行列 $A$ は、横に $n$ 個、縦に $m$ 個の数の表として表される。各要素は $a_{ij}$ と表され、 $i$ 行 $j$ 列の要素を表す。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

また、 $m=n$ の場合、この行列を正方行列と呼ぶ。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

行列には、加減乗除などの演算が定義されている。

同じ大きさの行列 $A$ と $B$ を考えた場合、2つの行列の要素ごとの和をとった行列を $A+B$ で表す。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}

A+B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}

同じ大きさの行列 $A$ と $B$ を考えた場合、2つの行列の要素ごとの差をとった行列を $A-B$ で表す。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}

A-B = \begin{pmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1n} - b_{1n} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \cdots & a_{2n} - b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \cdots & a_{mn} - b_{mn} \end{pmatrix}

スカラー $k$ と行列 $A$ を考えた場合、行列 $A$ のすべての要素に $k$ をかけた行列を $kA$ で表す。

kA = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{pmatrix}

行列 $A$ と $B$ を考えた場合、行列 $A$ の列数が行列 $B$ の行数と等しい場合、以下のように定義される行列 $C$ を $AB$ で表す。

C = AB

C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}

このとき、 $C$ の $i$ 行 $j$ 列の要素 $c_{ij}$ は、行列 $A$ の $i$ 行と行列 $B$ の $j$ 列の要素の積の総和である。

行列 $A$ を考えた場合、行と列を入れ替えた行列を $A^T$ で表す。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{pmatrix}

A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \end{pmatrix}

正方行列 $A$ に対して、行列 $A$ と逆行列 $A^{-1}$ の積が単位行列 $I$ に等しくなるとき、 $A$ は逆行列を持つという。

A^{-1}A = AA^{-1} = I

逆行列の求め方には、ガウス・ジョルダン法や余因子展開法などがある。

行列は、連立方程式や線型変換、最小二乗法などに応用される。

行列を用いると、連立方程式を簡単に解くことができる。以下は、 $2$ 次の連立方程式を行列を用いて解く例である。

\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-3y=-1 \end{cases}

これを行列で表すと、以下のようになる。

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}

この行列方程式を解くと、以下のようになる。

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

行列を用いることで、線型変換を表現することができる。以下は、 $2$ 次元ベクトルを回転させる行列の例である。

\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix}

行列を用いることで、最小二乗法を解析的に解くことができる。以下は、 $n$ 次元のデータをもとに、 $m$ 次式で近似する最小二乗法の例である。

y_i = a_1 x_i + a_2 x_i^2 + \cdots + a_m x_i^m + \epsilon_i

この式を行列で表すと、以下のようになる。

\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^m \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_n \end{pmatrix}

この行列方程式を解くことで、最小二乗法による近似式を求めることができる。