部分積分

部分積分とは、積分をする際に積分項を分解し、部分的に積分することによって、より簡単に積分を行う方法です。具体的には、以下のように表されます。

\int u(x)\frac{dv(x)}{dx}dx= u(x)v(x)-\int \frac{du(x)}{dx}v(x)dx

ここで、 $u(x)$ と $v(x)$ は微分可能な関数であり、 $du(x)/dx$ と $dv(x)/dx$ はそれぞれ $u(x)$ と $v(x)$ の微分です。

この式を用いると、以下のような積分が比較的簡単に解けることがあります。

\int x\cos x dx,\quad \int xe^x dx,\quad \int x^2\ln x dx

たとえば、 $\int x\cos x dx$ を部分積分によって解いてみましょう。

この場合、 $u(x)=x$ 、 $\frac{dv(x)}{dx}=\cos x$ として式に当てはめると、以下のようになります。

\int x\cos x dx= x\sin x -\int \sin x dx= x\sin x +\cos x + C

ここで $C$ は積分定数です。

部分積分を行うことによって、元の積分式よりも簡単に積分を行うことができました。このように、部分積分は積分を行う上で非常に有用なテクニックの一つです。

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