3D正接定理

3D正接定理とは、三次元空間内の一点からのある平面への垂線の長さを求める公式である。

具体的には、三次元空間内の座標系において、点 $P(x_1,y_1,z_1)$ から平面 $Ax+By+Cz+D=0$ への垂線の長さ $h$ は以下の式で計算される。

h=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

この式は、平面の法線ベクトルが $(A,B,C)$ であることを利用して導かれる。すなわち、点Pから平面へのベクトルを $\vec{v}=(x_1,y_1,z_1)$ 、平面の法線ベクトルを $\vec{n}=(A,B,C)$ とすると、 $h$ は以下のように求められる。

h=\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}

この式は、ベクトルのドット積とノルムを用いた形式で表されている。これを展開して計算すると、先述の公式が得られる。

この3D正接定理は、三次元空間において、ある点から平面への距離を求めるために広く用いられる公式である。例えば、3DグラフィックスやCADなどの分野でよく使用される。

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