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ベクトル微積分とは、ベクトル値関数に対する微積分を扱う学問のことである。ベクトル値関数とは、多変数関数であり、各自由変数にベクトルを対応させたものである。ベクトル微積分には、ベクトル解析と呼ばれるように、様々な応用がある。

ベクトル微積分においては、スカラー場に対する微積分に似た演算が行われる。例えば、ベクトル値関数 F(x)=(F1(x),F2(x),F3(x))\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})=(F_1(\boldsymbol{x}),F_2(\boldsymbol{x}),F_3(\boldsymbol{x})) に対して、微小領域 Δx\Delta \boldsymbol{x} における微小変化量 ΔF\Delta \boldsymbol{F} は、次のように定義される。

ΔF=F(x+Δx)−F(x)\Delta \boldsymbol{F} = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x})-\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})

ここで、微小領域 Δx\Delta \boldsymbol{x} は、3つの微小量 Δx1,Δx2,Δx3\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3 を持つ。微小変化量 ΔF\Delta \boldsymbol{F} は、各自由変数に対する偏微分係数を利用して、次のように近似することができる。

ΔF≈∂F∂x1Δx1+∂F∂x2Δx2+∂F∂x3Δx3\Delta \boldsymbol{F} \approx \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x_2} \Delta x_2 + \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x_3} \Delta x_3

この式は、微小変化量 ΔF\Delta \boldsymbol{F} を、微小量 Δx1,Δx2,Δx3\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3 の線形結合として近似したものである。この式をベクトル微分と呼び、微分係数 ∂F∂x1,∂F∂x2,∂F∂x3\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x_1}, \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x_2}, \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x_3} を、それぞれ F1(x)F_1(\boldsymbol{x}) の x1x_1 に対する偏微分、F2(x)F_2(\boldsymbol{x}) の x2x_2 に対する偏微分、F3(x)F_3(\boldsymbol{x}) の x3x_3 に対する偏微分と呼ぶ。

また、ベクトル微積分には、ベクトル解析のための基本的な演算がある。その一例として、勾配、発散、回転がある。

勾配は、スカラー場 ϕ(x)\phi(\boldsymbol{x}) に対して、x\boldsymbol{x} における勾配ベクトル ∇ϕ(x)\nabla \phi(\boldsymbol{x}) を次のように定義する。

∇ϕ(x)=(∂ϕ∂x1,∂ϕ∂x2,∂ϕ∂x3)\nabla \phi(\boldsymbol{x}) = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_1}, \frac{\partial \phi}{\partial x_2}, \frac{\partial \phi}{\partial x_3} \right)

この勾配ベクトルは、スカラー場 ϕ(x)\phi(\boldsymbol{x}) が最も急峻な方向を示す。例えば、等高線状に等高線が引かれたスカラー場 ϕ(x)\phi(\boldsymbol{x}) に対して、等高線が垂直な方向を向くように、勾配ベクトルが指す方向が決まる。

発散は、ベクトル場 F(x)\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) に対して、発散 div⁡F(x)\operatorname{div} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) を次のように定義する。

div⁡F(x)=∂F1∂x1+∂F2∂x2+∂F3∂x3\operatorname{div} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = \frac{\partial F_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F_3}{\partial x_3}

この発散は、ベクトル場 F(x)\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) の各点における「流れ」を表す。例えば、流体力学において、流体の速度場 v(x)\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) の発散は、その点における流体の質量収支を表す。

回転は、ベクトル場 F(x)\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) に対して、回転 rot⁡F(x)\operatorname{rot} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) を次のように定義する。

rot⁡F(x)=(∂F3∂x2−∂F2∂x3,∂F1∂x3−∂F3∂x1,∂F2∂x1−∂F1∂x2)\operatorname{rot} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = \left( \frac{\partial F_3}{\partial x_2}-\frac{\partial F_2}{\partial x_3}, \frac{\partial F_1}{\partial x_3}-\frac{\partial F_3}{\partial x_1}, \frac{\partial F_2}{\partial x_1}-\frac{\partial F_1}{\partial x_2} \right)

この回転は、ベクトル場 F(x)\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) の各点における「渦度」を表す。例えば、流体力学において、流体の速度場 v(x)\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}) の回転は、その点における流体の渦度を表す。

以上が、ベクトル微積分における基本的な概念と演算である。これらを応用することで、物理学や工学などの様々な分野で、現象の解析や設計が行われている。

リンク

Vector calculus[EN]