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階乗（かいじょう、英: factorial）とは、自然数 nn に対して 11 から nn までの全ての自然数の積を表す数学的な演算である。階乗は n!n! と表記され、式で表すと以下のようになる。

n!=1×2×⋯×n=∏k=1nkn! = 1 \times 2 \times \cdots \times n = \prod_{k=1}^{n} k

階乗は、組み合わせや確率論など様々な分野で利用される。例えば、nn 個の物から rr 個を選ぶ組み合わせの数を表す式は以下のようになる。

nCr=n!r!(n−r)!_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

また、確率論においては、nn 個の異なるオブジェクトを並べる場合の数は n!n! で表される。

階乗の計算方法は、一般的には再帰的な定義が用いられる。すなわち、以下のような式が成り立つ。

n!={1(n=0)n×(n−1)!(n>0)n! = \begin{cases} 1 & (n=0) \\ n \times (n-1)! & (n>0) \end{cases}

この式は、nn が 00 の場合、階乗の値は 11 であることを表している。nn が 11 以上の場合、n!n! は nn と (n−1)!(n-1)! の積として表される。

階乗は、大きな数になると非常に急速に増加する。例えば、20!20! は約 2.43×10182.43 \times 10^{18} であり、100!100! は約 9.33×101579.33 \times 10^{157} である。このため、計算機を用いた計算においては、適切な桁数での表現や、特殊なアルゴリズムが必要となる場合がある。

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Factorial[EN]