ベイズの定理

ベイズの定理（Bayes' theorem）とは、確率論において、ある事象が起こった時に、その原因となる可能性のある各要素（原因）がどの程度の確率で起きるかを求めるための公式である。ベイズの定理は、ベイズ統計学の基礎的な考え方であり、確率論の中でも特に重要な定理である。

ベイズの定理の式

ベイズの定理は以下の式で表される。

P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

ここで、 $P(A|B)$ は、事象 $B$ が観測された時に、原因 $A$ が起こる確率である。 $P(B|A)$ は、原因 $A$ が起こった時に、事象 $B$ が観測される確率である。 $P(A)$ は、原因 $A$ が起こる確率であり、これは事前確率（prior probability）と呼ばれる。 $P(B)$ は、事象 $B$ が観測される確率であり、これは尤度（likelihood）と呼ばれる。

ベイズの定理の例

例えば、ある病気にかかる確率が1%であるとする。また、その病気にかかった人の中で、検査で陽性と診断される確率が90%、かからなかった人の中で、陰性と診断される確率が99%であるとする。このとき、検査で陽性と診断された人が、実際にその病気にかかっている確率を求めることができる。

この問題をベイズの定理を用いて解くと、以下のようになる。

$A$ : その人が病気にかかっている
$B$ : 検査で陽性と診断される

まず、事前確率 $P(A)$ は1%である。つまり、人口のうち1%がその病気にかかっているとする。

次に、尤度 $P(B|A)$ は90%である。つまり、病気にかかった人の中で、検査で陽性と診断される確率が90%であるとする。

しかし、このままだと求めたい確率 $P(A|B)$ を計算することができない。そこで、事象 $B$ が起こったという条件のもとでの、原因 $A$ が起こる確率 $P(A|B)$ を求めるためには、事象 $B$ が起こらなかった場合の確率 $P(\neg B)$ が必要になる。

$P(\neg B)$ は、以下のように計算することができる。

P(\neg B) = P(\neg B|A)P(A) + P(\neg B|\neg A)P(\neg A)

ここで、 $P(\neg B|A)$ は、病気にかかった人の中で、検査で陰性と診断される確率であり、 $P(\neg B|\neg A)$ は、病気にかからなかった人の中で、検査で陰性と診断される確率である。また、 $P(\neg A)$ は、原因 $A$ が起こらない確率であり、 $1-P(A)$ である。

ここで、 $P(\neg B|A)$ は10%であり、 $P(\neg B|\neg A)$ は99%であるので、 $P(\neg B)$ は以下のように計算することができる。

P(\neg B) = 0.1 \times 0.01 + 0.99 \times 0.99 = 0.1089

これを用いて、 $P(A|B)$ を計算することができる。

P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{0.9 \times 0.01}{0.1089} = 0.0825

つまり、検査で陽性と診断された人のうち、実際にその病気にかかっている人の割合は約8.25%であることがわかる。

まとめ

ベイズの定理は、原因と結果の関係を考える上で非常に重要な概念である。事前確率、尤度、事後確率の概念を理解し、適切な条件下でベイズの定理を用いることで、様々な問題を解決することができる。

リンク

Bayes' theorem[EN]