リーマン予想(Riemann Hypothesis)は、数学の分野である解析数論において、19世紀にドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって提唱された予想である。リーマン予想は、素数分布に関するものであり、素数がどのように分布しているかを記述する重要な予想である。
具体的には、リーマン予想は、リーマンのゼータ関数(Riemann zeta function)についての予想であり、このゼータ関数の零点の分布について述べている。リーマンのゼータ関数は、次の式で定義される。
ζ(s)=∑n=1∞ns1
ここで、sは複素数であり、実部が1より大きい場合に収束する。リーマン予想は、「リーマンのゼータ関数のすべての非自明な零点は、実部が1/2であるような直線上に存在する」という予想である。ここで、自明な零点とは、s=-2n(nは自然数)のような極になっている点のことである。
リーマン予想は、素数分布に関する数々の定理や予想を導く重要な予想であり、現在も解かれていない数学上の難問として知られている。リーマン予想が正しいと仮定すると、素数がどのように分布しているかを正確に把握することができるため、暗号理論などの分野においても応用が期待されている。
リーマン予想の解決に向けて、多くの数学者が取り組んでおり、多くの成果が上がっている。しかし、現在も解決されておらず、解決の可能性について研究が続けられている。