極座標系

極座標系とは、平面直角座標系に代わる座標系の一つであり、2つの座標軸を半径と角度として用いるものです。極座標系は、円やその他の曲線の表現に有用であると共に、微積分や物理学などの分野でも広く用いられます。

極座標系の座標は、原点から点までの距離と原点と点を結ぶ線分が$x$軸となす角度で表されます。原点から点$(r,\theta)$への線分は、極線と呼ばれます。

極座標系の変換式は以下のように表されます。

$x=r\cos\theta$

$y=r\sin\theta$

ここで、$x$と$y$は平面直角座標系における座標、$r$は原点から点までの距離、$\theta$は原点と点を結ぶ線分が$x$軸となす角度です。

また、逆に平面直角座標系の座標$(x,y)$を極座標系に変換する場合は以下のように表されます。

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$

極座標系においては、原点のみ座標が$(0,0)$であり、正の$x$軸上にある点は$\theta=0$、正の$y$軸上にある点は$\theta=\frac{\pi}{2}$、負の$x$軸上にある点は$\theta=\pi$、負の$y$軸上にある点は$\theta=-\frac{\pi}{2}$となります。また、$\theta$は$2\pi$周期的です。

極座標系では、微積分の積分範囲を角度にすると積分が簡略化される場合があります。また、物理学の力学や波動論、電磁気学などの分野でも広く用いられます。

リンク

Polar Coordinates System[EN]