二次方程式における解と係数の関係

二次方程式は以下のように表されます。
$ax^2 + bx + c = 0$
ここで、$a, b, c$は定数であり、$x$は変数です。

この二次方程式の解は以下の公式を用いて求められます。
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

この解と係数$a, b, c$の関係について考えてみましょう。

まず、解$x$が実数解を持つためには、以下の式が成り立つ必要があります。
$b^2-4ac \geq 0$

この式は判別式と呼ばれ、二次方程式の解の実数解の有無を判断するために使われます。判別式が0より大きければ、異なる2つの実数解を持ちます。判別式が0の場合には、重解を持ちます。判別式が0より小さい場合には、解は2つの複素共役解となります。

次に、係数$a$が0である場合には、二次の項がなくなり、一次方程式と同じ形式になります。この場合には、解は以下のように求められます。
$x = \frac{-c}{b}$

最後に、二次方程式の解と係数の関係を見てみましょう。解$x$は以下のように表されます。
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
この式の分母にある2aは、係数$a$の値に依存しています。そのため、係数$a$が大きな値である場合には、分母が大きくなり、解$x$は小さくなります。一方で、係数$a$が小さな値である場合には、分母が小さくなり、解$x$は大きくなります。また、係数$b$と係数$c$についても同様の関係が成り立ちます。

以上のように、二次方程式の解と係数には密接な関係があります。この関係を理解することで、二次方程式の解の性質や、係数の値が与える影響を把握することができます。

リンク

Relation between Roots and Coefficients of a Quadratic Equation[EN]