クンマー合同式

クンマー合同式（Kummer's congruence）は、数論の一分野である合同算術に関連する結果であり、特にベルヌーイ数に関する特定の合同関係を表している。この合同式は、19世紀のドイツの数学者エルンスト・クンマー（Ernst Kummer）によって発見された。

ベルヌーイ数 $B_n$ は、次の生成関数によって定義される一連の有理数である：

\frac{x}{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{x^n}{n!}

ベルヌーイ数は、数論や解析学の多くの分野で重要な役割を果たしている。

クンマー合同式には、以下の二つの主要な形式がある。

これは、画像に示された形式であり、ベルヌーイ数の一般的な性質に関するものである。

定理1：クンマーの合同式

Nを正整数, n, mをn, m \geq N+2を満たす偶数とする. m, nがp-1で割り切れず, かつ

n \equiv m \ (\text{mod} \ \phi(p^{N+1})) のとき,

\frac{B_n}{n} \equiv \frac{B_m}{m} \ (\text{mod} \ p^{N+1})

ここで、 $\phi$ はオイラーのトーシェント関数であり、 $p$ は任意の素数である。この合同式は、特定の条件下でベルヌーイ数の比が同じ合同関係を満たすことを示している。

これは、特定のベルヌーイ数 $B_{p-1}$ に焦点を当てたものであり、より簡潔な形を持つ。

特定の奇素数 $p$ に対して、ベルヌーイ数 $B_{p-1}$ は以下のような合同関係を満たす：
$B_{p-1} \equiv -1 \ (\text{mod} \ p)$
$p$ が奇素数である場合、次の合同式が成り立つ：
$B_{p-1} \equiv -\frac{1}{p} \ (\text{mod} \ p)$

クンマー合同式の証明は、ベルヌーイ数の性質および合同算術の基本的な結果に基づいている。この合同式は、リーマンゼータ関数や $p$ -進数論にも関連する理論が発展するための基礎を提供する。

クンマー合同式は、フェルマーの最終定理や他の数論的問題に関連しており、数論における深遠な結果として重要視されている。具体的には、以下のような応用がある：

具体的な例として、奇素数 $p = 5$ の場合を考える。この場合のベルヌーイ数 $B_4$ は次のようになる：

B_4 = -\frac{1}{30}

クンマー合同式を用いると、以下のように計算できる：

B_4 \cdot 30 \equiv -1 \ (\text{mod} \ 5)

実際に計算すると、 $B_4 \cdot 30 = -1$ であり、これは $5$ で割ると余りが $-1$ になることが確認できる。

さらに、奇素数 $p = 691$ の場合を考える。この場合、 $B_{690}$ は分母に 691 を含むため、先の特定のベルヌーイ数に関する合同式の1の条件は成り立たないが、2の条件は成り立つ：

B_{690} \equiv -\frac{1}{691} \ (\text{mod} \ 691)

クンマー合同式は、エルンスト・クンマーが19世紀中頃に発見した。彼の研究は、数論の発展に大きく寄与し、多くの後続の研究に影響を与えた。