群論とは、集合とその上の二項演算である群についての研究を行う数学の分野である。群は、演算によって射影的であるような集合の構造を抽象化し、同時に幾何学や物理学、化学、暗号学、組合せ論など様々な分野で用いられる。
群は以下の4つの条件を満たす集合Gとその上の演算"*"である。
- 閉性：任意のa,b∈Gに対して、a*b∈Gである。
- 結合律：任意のa,b,c∈Gに対して、(ab)c=a(bc)である。
- 単位元：あるe∈Gが存在して、任意のa∈Gに対して、ae=ea=aである。
- 逆元：任意のa∈Gに対して、あるb∈Gが存在して、ab=ba=eである。
このとき、Gを群(G,*)と呼ぶ。また、群の要素数を群の位数と呼び、|G|で表す。
群の例として、整数全体の集合Zとその上の加算"+"は、群(Z,+)をなす。この群において、単位元は0であり、任意の整数aに対して、逆元は-aである。また、有理数全体の集合Qとその上の乗算""も、群(Q,)をなす。
群の基本的な概念の一つに、部分群がある。ある群Gに含まれる部分集合Hが、Gの演算において群となるとき、HをGの部分群と呼ぶ。部分群の例として、整数全体の集合Zの偶数全体の集合{...,-4,-2,0,2,4,...}は、Zの部分群をなす。
群は、その内部構造の研究によって特徴づけられる。その中でも重要なものの一つが、群の位数に関するラグランジュの定理である。この定理は、ある群Gの任意の部分群Hに対して、|G|=|H||G/H|が成り立つことを述べている。ここで、G/HはGのHに関する剰余群であり、G/H={gH | g∈G}で定義される。
群論は、その数学的な美しさだけでなく、暗号解読や物理学の対称性の研究など、実用的な応用も多岐にわたる分野である。