表現論とは、群やリー代数などの代数的対象の対称性を探求する数学の分野である。具体的には、群やリー代数の元を線型空間の線型変換として表現する方法を研究する。
群の表現論では、群の元を行列や線型写像などの線型変換として表現する方法が研究される。群の表現を通じて、群の対称性に関する情報を得ることができる。例えば、回転群の表現を考えると、回転操作に対して不変なベクトルの存在や、それらが形成する空間の性質についての情報を得ることができる。
リー代数の表現論では、リー代数の元を線型変換として表現する方法が研究される。リー代数の表現を通じて、リー代数の対称性に関する情報を得ることができる。例えば、特殊線型群のリー代数の表現を考えると、特殊線型群の対称性に関する情報を得ることができる。
表現論は、数学だけでなく物理学や化学などの自然科学の分野でも重要な役割を果たしている。例えば、量子力学の基礎理論である量子力学の表現論では、物理系の対称性に関する情報を得ることができる。
最近では、表現論は暗号理論やコンピュータサイエンスの分野でも注目されている。例えば、表現論を用いた暗号の研究や、表現論を用いた量子コンピュータの研究が行われている。
表現論には、群論やリー理論の基礎が必要となる。また、線型代数学や微積分学などの高等数学の知識も必要である。表現論は、抽象的な数学の分野であるため、具体的な例を用いて理解を深めることが重要である。