微分幾何学とは、微分積分学と幾何学を結びつけた数学の一分野である。微分幾何学は、曲面や多様体といった幾何的構造を微分積分学的な手法によって解析することを研究する。
微分幾何学においては、主に曲率や接線、接平面、接ベクトル、法線ベクトルなどの概念が用いられる。例えば、曲率は曲面の曲がり具合を表す量であり、接線や接平面は曲面上の点における接線や接平面を表すものである。また、接ベクトルは曲面上の点における法線ベクトルに垂直なベクトルであり、法線ベクトルは曲面の法線方向を表すベクトルである。
微分幾何学の応用分野としては、計量幾何学やリーマン幾何学が挙げられる。計量幾何学は、曲面や多様体に距離や角度を与えることで、距離や角度の性質を研究する分野である。リーマン幾何学は、計量幾何学の一部であり、非ユークリッド幾何学を研究する分野である。
微分幾何学は、数学の基礎理論や物理学、工学、コンピュータグラフィックスなどの分野において幅広く応用されている。特に、物理学においては、重力場の記述には計量幾何学が用いられ、素粒子物理学においては、量子力学と一般相対性理論を統合するためにリーマン幾何学が用いられる。
微分幾何学は、近代数学の中でも重要な分野の一つであり、その応用分野も多岐にわたるため、今後もさらなる発展が期待されている。