複素解析とは、複素数を用いた解析学のことである。複素関数の微積分学や積分学、極限の概念、解析接続、リーマン面などを扱う。
複素数とは、実数の一般化された数のことであり、虚数単位 i を用いて a+bi と表される。ここで a と b は実数である。
複素関数は、複素数を定義域とする関数のことであり、一般には f(z) または w=z2 のように表される。
複素関数を微積分する際には、複素微分係数が導入される。複素微分係数は、微小な複素数 h に対して、f(z+h)−f(z) を h で割ったものである。
また、複素関数の積分は、一般的に線積分として定義される。線積分は、曲線に沿って積分することである。複素関数の線積分は、パラメータ表示された曲線に対して、次のように定義される。
∫Cf(z)dz=∫abf(z(t))dtdzdt
ここで、C は曲線を表し、z(t) は曲線上の点に対する複素数のパラメータ表示である。
複素関数の極限の概念も重要である。複素関数の極限は、z がある値 a に近づくとき、f(z) がある値 l に近づく場合を指す。極限が存在するとき、それを l=limz→af(z) と表す。
複素解析では、複素関数の解析接続も重要である。解析接続とは、ある定義域で定義された関数を、その定義域を拡張した領域で定義された関数に拡張することである。
最後に、複素解析で用いられるリーマン面についても触れておく。リーマン面とは、多価関数の解析接続において、定義域を拡張した複素平面の拡張された表現のことである。リーマン面を用いることで、多価関数の複雑な性質を扱うことができる。
複素解析は、電気工学や力学、物理学、数学など、多様な分野で応用される学問である。