フラクタル幾何学とは、自己相似性を持つ図形を扱う数学の一分野である。自己相似性とは、ある対象の一部分が全体と同じ形状を持ち、それが再帰的に繰り返されることを指す。フラクタル幾何学は、自然界に見られる多くの現象の説明に役立っており、また美術やデザインなどの分野でも応用されている。
フラクタル幾何学が最初に注目されたのは、1960年代にポーランドの数学者マンデルブロによって提唱されたことである。彼は、自己相似性を持つ複雑な図形を、フラクタル（不規則な曲線や面）と呼び、その特徴を研究した。
フラクタル幾何学には、いくつかの代表的な図形が存在する。代表例の一つが、コッホ曲線である。コッホ曲線は、等辺三角形を再帰的に分割することで生成される曲線であり、その形状は非常に複雑である。また、サイモンのカーペットは正方形を再帰的に分割することで生成される図形であり、その表面積は有限ながら、点の密度は無限になるという特徴を持つ。
フラクタル幾何学は、人工物や自然現象においても、多くの例が見られる。例えば、木の枝分かれや、雲の形状、山や海岸線の形状などがフラクタル的な特徴を持っている。このような自然現象の形状を数学的にモデル化することで、それらの特徴を説明することができる。
フラクタル幾何学は、自然現象の研究だけでなく、コンピュータグラフィックスや音楽、経済学などの分野にも応用されている。例えば、フラクタル幾何学を用いることで、コンピュータ上に自然な景色や音楽を生成することができる。また、経済学においても、市場の変動や株価変動などがフラクタル的な特徴を持っていることが知られており、それを考慮した分析手法が研究されている。
フラクタル幾何学は、自然現象の形状を理解するために不可欠な分野であり、今後も様々な分野において応用が期待されている。